Primer mes de Probabilidad COBAO
Principio fundamental de conteo
El principio fundamental en el proceso de
contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de
objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de
conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y
una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes
entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden
ocurrir en el orden indicado, es igual a
n1 x n2.
El principio fundamental de
conteo establece que si
hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces
hay p × q formas de hacer ambas cosas.
Ejemplo 1:
Suponga que tiene 3 camisas
(llamémoslas A, B, y C), y 4 pares de pantalones (llamémoslos w, x, y, y z). Entonces Usted tiene
3 × 4 = 12
Combinaciones posibles:
Aw,
Ax, Ay, Az
Bw,
Bx, By, Bz
Cw, Cx, Cy,
Cz
Ejemplo 2:
Suponga que lanza un dado de 6
lados y saca una baraja de un mazo de 52 barajas. Hay 6 resultados posibles con
el dado, y 52 resultados posibles con el mazo de barajas. Así, hay un total de
6 × 52 = 312
Resultados posibles del
experimento.
El principio de conteo puede
extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay p formas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa,
entonces hay p × q × r formas de hacer las tres cosas.
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a
un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de
un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo,
tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha
sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente
quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas
de repartir los tres premios.
n=
10
x 9 x 8 = 720
PRINCIPIO DE LA
Si
se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso
de la actividad a realizar puede ser
llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y
el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser
llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los
pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro. Si un evento E1
puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras
diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np
maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder
el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x..........x
Nr maneras o formas
PRINCIPIO ADITIVO.
Si
se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para
ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas.....
Y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada
a cabo de
M + N +.........+ W maneras o
formas
Ejercicios
resueltos del Principio Multiplicativo
Calcular cuántas
placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas
de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los
dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y {1,3,4,5,7,8,9}.
Solución:
Las
letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de
7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de
automóvil.
Calcular cuántos
números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar
con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
En
este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo
anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4
y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto,
tendremos 3x7x7 = 147 números.
PRINCIPIO DE PERMUTACION:
A
diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el
numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación:
un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos
posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones
diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de
permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
Ejercicios
-
¿De
cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí
entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí
importa el orden.
No
se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
-
¿De
cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa
redonda?
-
Con
las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
m = 9 a = 3
b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los
elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los
elementos.
PRINCIPIO DE COMBINACIÓN:
En
una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es
diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos
resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo
de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C).
Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los
resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay
funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones:
Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin
importar el orden.
La
fórmula de combinaciones es:
n
C r = n! r! (n –
r)!
EJERCICIOS
-
En una clase de 35 alumnos se quiere
elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se
pueden formar?
No entran todos los
elementos.
No importa el orden:
Juan, Ana.
No se repiten los
elementos.
Combinaciones
-
¿De cuántas formas pueden mezclarse
los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los
elementos.
No importa el orden.
No se repiten los
elementos.
Solución
-
A una reunión asisten 10 personas y se
intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los
elementos.
No importa el orden.
No se repiten los
elementos.
Solución
-
En una bodega hay en unos cinco tipos
diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los
elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da
igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los
elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
Solución
